Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE=2，则AB的长是（　　）

• A． 4
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 8
• D． 8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由ED是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理得到EA=EB，根据等边对等角可得∠A和∠ABE相等，由∠A的度数求出∠ABE的度数，得出∠EBC=∠EBA=30°，再由角平分线上的点到角的两边的距离相等得出DE=CE=2．由30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE=2ED=4，由勾股定理求出AD，那么AB=2AD．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，ED⊥AB，
∴∠A=∠EBA=30°，
∴∠EBC=∠ABC-∠EBA=30°，
又∵BC⊥AC，ED⊥AB，
∴DE=CE=2．
在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，
∴AE=2DE=4，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=4$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，即在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．