Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16．∠BAC的平分线AD交BC于D，经过A、D两点的⊙O交AB于E，且点O在AB上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求AF的长．

Answer 1

分析：（1）连OD，先证明OD∥AC，再证明OD⊥DC．
（2）过D点作DG⊥AB于G点．在直角三角形BDG中利用勾股定理求出CD．作OM⊥AF于M，在直角三角形OAM中利用勾股定理求出OA，则可求出AM，而AF=2AM．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．（1分）
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD．（2分）
∴OD∥AC．（3分）
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC于D．
∴BC是⊙O的切线．（4分）

（2）解：过D作DG⊥AB于G，
∴DG=DC，AG=AC．（5分）
设DC=x，则BD=16-x，BG=8，
∴8²+x²=（16-x）²
∴x=6．（6分）
设半径为r，则（12-r）²+6²=r²
∴r=7.5．
∴EG=3．（7分）
连接DE，DF，易证△DGE≌△DCF，
∴CF=3，
∴AF=9．（8分）

（2）证法2：（如图）连OD，OF，作OM⊥AF于M；
设DC=x，（x的求法同于前面）
∴x=6；
∵OM⊥AF，OD⊥BC，则MC=OD=R，OM=DC=6，AM=12-R，
∴R²=（12-R）²+6²，
∴R=7.5，
∴AM=12-7.5=4.5，
∴AF=2AM=9．

证法3：（如图）连EF，与OD交于H点，设DC=x
∴x=6，（求法同前）；
在Rt△BOD中，BO=20-R，OD=R，BD=10；
∴（20-R）²=R²+10²，
∴R=7.5，
∴AE=15；
∵EF=2FH=2CD=12，
在Rt△EAF中，AF²=AE²-EF²=15²-12²=81，
∴AF=9．

证法4，（如图）连EF；设DC=x，
∴x=6，（求法同前）
∴EF=2FH=2CD=12；
∵S_△BEF+S_梯形EFCB=S_△ABC，

1

2

EF•BF+

1

2

(EF+BC)•(AC-AF)=

1

2

AC•BC，
∴AF=9．

点评：熟练掌握切线的判定定理，特别是要把证明切线问题转化成垂直问题；在几何计算中，学会设未知数，充分利用勾股定理建立等量关系，解方程．这就是方程的思想在几何中的运用．