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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：

    （1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
    （2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
    （3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
    【答案】分析：（1）如答图1所示，证明QEMG为平行四边形，则运动路程QG=EM=10，t值可求；
    （2）△APQ是等腰三角形，分为三种情形，需要分类讨论，避免漏解．如答图2、答图3、答图4所示；
    （3）整个运动过程分为四个阶段，每个阶段重叠图形的形状各不相同，如答图5-答图8所示，分别求出其面积的表达式．
    解答：解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10．
    由题意，易知点G的运动线路平行于BC．
    如答图1所示，过点G作BC的平行线，分别交AE、AF于点Q、R．

    ∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM．
    ∴四边形QEMG为平行四边形，
    ∴QG=EM=10．
    ∴t==10秒．

    （2）存在符合条件的点P．
    在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．
    设∠AEB=θ，则sinθ=，cosθ=．
    ∵NE=t，∴QE=NE•cosθ=t，AQ=AE-QE=20-t．
    △APQ是等腰三角形，有三种可能的情形：

    ①AP=PQ．如答图2所示：
    过点P作PK⊥AE于点K，则AK=AP•cosθ=t．
    ∵AQ=2AK，∴20-t=2×t，
    解得：t=；
    ②AP=AQ．如答图3所示：
    有t=20-t，
    解得：t=；
    ③AQ=PQ．如答图4所示：
    过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQ•cosθ=（20-t）×=16-t．
    ∵AP=2AK，∴t=2（16-t），
    解得：t=．
    综上所述，当t=，或秒时，存在点P，使△APQ是等腰三角形．

    （3）如答图1所示，点N到达点F的时间为t=7；
    由（1）知，点G到达点Q的时间为t=10；
    QE=10×=8，AQ=20-8=12，
    ∵GR∥BC，∴，即，∴QR=．
    ∴点G到达点R的时间为t=10+=；
    点E到达终点B的时间为t=16．
    则在△GMN运动的过程中：
    ①当0≤t＜7时，如答图5所示：
    QE=NE•cosθ=t，QN=NE•sinθ=t，
    S=QE•QN=•t•t=t2；

    ②当7≤t＜10时，如答图6所示：
    设QN与AF交于点I，
    ∵tan∠INF==，tan∠IFN==，
    ∴∠INF=∠IFN，△INF为等腰三角形．
    底边NF上的高h=NF•tan∠INF=×（t-7）×=（t-7）．
    S△INF=NF•h=×（t-7）×（t-7）=（t-7）2，
    ∴S=S△QNE-S△INF=t2-（t-7）2=t2+t-；
    ③当10≤t＜时，如答图7所示：
    由②得：S△INF=（t-7）2，
    ∴S=S△GMN-S△INF=24-（t-7）2=-t2+t+；

    ④当＜t≤16时，如答图8所示：
    FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．
    设GM与AF交于点I，过点I作IK⊥MN于点K．
    ∵tan∠IFK==，∴可设IK=4x，FK=3x，则FM=3x+17-t．
    ∵tan∠IMF===，解得：x=（17-t）．
    ∴IK=4x=（17-t）．
    ∴S=FM•IK=（t-17）2．
    综上所述，S与t之间的函数关系式为：
    S=
    点评：本题是运动型综合题，难度较大，解题关键是清楚理解图形的运动过程．计算过程较为复杂，需要仔细认真；第（2）（3）问中，注意均需要分情况讨论，分别计算，避免漏解．
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    ．

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    （2）在问题（1）中，当AD=13时，求tan∠PBC；
    （3）如图2所示，原题目中的条件不变，且AP=3，DP=9，M是线段BP上一点，过点M作MN∥BC交PC于点N，分别过点M，N作ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F，并且矩形MEFN和矩形ABCD的长与宽之比相等，求MN．
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    （2012•临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
    （1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
    （2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；
    （3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

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    （2013•北塘区一模）已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点），点P从点C出发，以2cm/s的速度，沿CD作匀速运动．连接PM，过点P作PM的垂线与边DA相交于点E（如图），设点P运动的时间为t（s）
    （1）DE的长为
    -
    8
    3
    t2+
    16
    3
    t
    -
    8
    3
    t2+
    16
    3
    t
    （用含t的代数式表示）；
    （2）若点P从点C出发的同时，直线BD沿着射线AD的方向以3cm/s的速度从D点出发，以CP长为直径作圆⊙O，当点P到达点D时，直线BD也停止运动．当⊙O与直线BD相切时，求DE的值．

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    （2013•重庆）已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：

    （1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
    （2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
    （3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

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