已知.在矩形ABCD中.E为BC边上一点.AE⊥DE.AB=12.BE=16.F为线段BE上一点.EF=7.连接AF．如图1.现有一张硬质纸片△GMN.∠NGM=90°.NG=6.MG=8.斜边MN与边BC在同一直线上.点N与点E重合.点G在线段DE上．如图2.△GMN从图1的位置出发.以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动.同时点P从A点出发.以每秒1个单位的速度沿AD向点D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2013•重庆）已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

分析：（1）如答图1所示，证明QEMG为平行四边形，则运动路程QG=EM=10，t值可求；
（2）△APQ是等腰三角形，分为三种情形，需要分类讨论，避免漏解．如答图2、答图3、答图4所示；
（3）整个运动过程分为四个阶段，每个阶段重叠图形的形状各不相同，如答图5-答图8所示，分别求出其面积的表达式．

解答：解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10．
由题意，易知点G的运动线路平行于BC．
如答图1所示，过点G作BC的平行线，分别交AE、AF于点Q、R．

∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM．
∴四边形QEMG为平行四边形，
∴QG=EM=10．
∴t=

=10秒．

（2）存在符合条件的点P．
在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．
设∠AEB=θ，则sinθ=

，cosθ=

．
∵NE=t，∴QE=NE•cosθ=

t，AQ=AE-QE=20-

t．
△APQ是等腰三角形，有三种可能的情形：

①AP=PQ．如答图2所示：
过点P作PK⊥AE于点K，则AK=AP•cosθ=

t．
∵AQ=2AK，∴20-

t=2×

t，
解得：t=

；
②AP=AQ．如答图3所示：
有t=20-

t，
解得：t=

100

；
③AQ=PQ．如答图4所示：
过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQ•cosθ=（20-

t）×

=16-

t．
∵AP=2AK，∴t=2（16-

t），
解得：t=

800

．
综上所述，当t=

，

100

或

800

秒时，存在点P，使△APQ是等腰三角形．

（3）如答图1所示，点N到达点F的时间为t=7；
由（1）知，点G到达点Q的时间为t=10；
QE=10×

=8，AQ=20-8=12，
∵GR∥BC，∴

，即

，∴QR=

．
∴点G到达点R的时间为t=10+

；
点E到达终点B的时间为t=16．
则在△GMN运动的过程中：
①当0≤t＜7时，如答图5所示：
QE=NE•cosθ=

t，QN=NE•sinθ=

t，
S=

QE•QN=

•

t•

t²；

②当7≤t＜10时，如答图6所示：
设QN与AF交于点I，
∵tan∠INF=

，tan∠IFN=

，
∴∠INF=∠IFN，△INF为等腰三角形．
底边NF上的高h=

NF•tan∠INF=

×（t-7）×

（t-7）．
S_△INF=

NF•h=

×（t-7）×

（t-7）=

（t-7）²，
∴S=S_△QNE-S_△INF=

t²-

（t-7）²=-

t²+

；
③当10≤t＜

时，如答图7所示：
由②得：S_△INF=

（t-7）²，
∴S=S_△GMN-S_△INF=24-

（t-7）²=-

t²+

；

④当

＜t≤16时，如答图8所示：
FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．
设GM与AF交于点I，过点I作IK⊥MN于点K．
∵tan∠IFK=

，∴可设IK=4x，FK=3x，则KM=3x+17-t．
∵tan∠IMF=

3x+17-t

，解得：x=

（17-t）．
∴IK=4x=

（17-t）．
∴S=

FM•IK=

（t-17）²．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=

t2(0≤t＜7)

t2+

(7≤t＜10)

t2+

(10＜t≤

)

(t-17)2(

＜t≤16)

点评：本题是运动型综合题，难度较大，解题关键是清楚理解图形的运动过程．计算过程较为复杂，需要仔细认真；第（2）（3）问中，注意均需要分情况讨论，分别计算，避免漏解．

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（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A₀E₀D₀，当A₀D₀与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A₀E₀D₀与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B₁，E的对应点为E₁，设直线B₁E₁与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．