Question

13．如图，分别以锐角△ABC的边AB、BC、CA为斜边向外作等腰Rt△DAB、等腰Rt△EBC、等腰Rt△FAC．
求证：（1）AE=DF；（2）AE⊥DF．

Answer 1

分析 如图，取AB、BC、AC的中点G、H、J，连接GH、HJ、GJ、DG、DH、EG、EH、FJ、FH、FG、延长DG交JH于N，FG交AE于点O，AE与DF交于点M，首先证明△DGH≌△HJF，其次△DGF≌△AGE，得到DF=AE，再利用“8字型”证明∠FMO=90°即可．

解答 证明：如图，取AB、BC、AC的中点G、H、J，连接GH、HJ、GJ、DG、DH、EG、EH、FJ、FH、FG、延长DG交JH于N，FG交AE于点O，AE与DF交于点M．
∵GH∥AC，HJ∥AB，
∴四边形AGHJ是平行四边形，
∴GH=AJ，HJ=AG，
∵△ADB是等腰直角三角形，BG=AG，
∴DG=AG=BG，同理FJ=AJ=JC，EH=BH=CH，
∵∠BGH=∠BAC=∠HJC，
∵∠DGH=∠DGB+∠BGH=90°+∠BGH，∠FJH=∠FJC+∠CJH=90°+∠CJH，
∴∠DGH=∠FJH，
在△DGH和△HJF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=JH}\\{∠DGH=∠FJH}\\{GH=JF}\end{array}\right.$，
∴△DGH≌△HJF，
∴DH=HF，∠GDH=∠JHF，∠GHD=∠JFH，
∵AB∥JH，DG⊥AB，
∴DG⊥HJ，
∴∠DNH=90°，
∴∠HGN+∠GHN=90°，
∵∠HGN=∠GDH+∠GHD=∠GHD+∠JHF，
∴∠DHF=90°，
∴△DHF是等腰直角三角形，同理可证△GEF是等腰直角三角形．
∵∠DGA=∠FGE=90°，
∴∠DGF=∠AGE，
在△DGF和△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=AG}\\{∠DGF=∠AGE}\\{GF=GE}\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△AGE，
∴DF=AE，∠DFG=∠AEG，
∵∠AEG+∠EOG=90°．∵∠EOG=∠AOF，
∴∠AOF+∠DFG=90°，
∴∠FMO=90°，
∴DF⊥AE．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形，学会利用“8字型”证明直角，题目有一定的难度．