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    （2010•桥西区模拟）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，现有两个动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以每秒2个单位的速度沿A?B方向运动，点Q以每秒1个单位的速度沿C?D方向运动，当一点到达终点时，另一点停止运动．过点P作PE⊥CD于E，交DB于点F，连接AF、QF，设运动时间为t秒．
    （1）记△DFQ的面积为S，求出S关于t的函数关系式和自变量t的取值范围；
    （2）当△ADF与△BDC相似时，求tan∠QFE的值；
    （3）是否存在t，使得△DFQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）三角形DFQ中，底边DQ的长可用CD、CQ得出，QD边上的高即EF的长，可在直角三角形DEF中，根据DE的长（即AP的长）和∠CDB的正弦值求出．进而可根据三角形的面积计算公式求出S，t的函数关系式．由于P、Q两点中当一点到达终点时，另一点停止运动，因此可根据P点的速度和AB的长来求出t的取值范围．
    （2）由于∠CDB=∠ADF，因此本题分两种情况：①∠AFD=∠BCD，即△ADF∽△ABC，可根据对应线段成比例求出AP的长，即可得出EF，QE的长，据此可求出∠QFE的正切值．②∠DAF=∠DCB，即△DAF∽△BCD，解法同①
    （3）分三种情况：
    ①FQ=FD，根据等腰三角形三线合一的特点可知此时QE=ED，可据此求出t的值．
    ②DQ=DF，DQ的长可用CD-CQ表示出，DF的长，可在直角三角形DEF中，用DE和∠CDB的余弦值求出．然后联立这两个含t的表达式相等即可得出t的值．
    ③QF=QD，可直接在直角三角形QEF中用勾股定理求出t的值．
    解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
    ∴∠ADB=∠BDC=∠ABD=45°
    又∵PE⊥CD，
    ∴△EDF和△BPF都为等腰直角三角形
    ∴EF=DE=AP=2t，DF=t
    又∵DQ=8-t
    ∴s=DQ•EF=（8-t）•2t=-t2+8t
    自变量t的取值范围是0≤t≤4．

    （2）当△ADF与△BDC相似时，
    ∵∠ADF=∠BDC=45°，
    ∴或
    由，
    得，t=2
    这时EF=4，QE=8-3t=2
    ∴tan∠QFE==
    由，
    得=，t=4．
    这时，点F与B重合，点E与C重合
    ∴tan∠QFE=tan∠QBC=．

    （3）①当FQ=FD时，QE=ED，即8-3t=2t，5t=8，t=1.6；
    ②当DQ=DF时，即8-t=2t，t==；
    ③当QF=QD时，QE2+EF2=QD2，即（8-3t）2+（2t）2=（8-t）2，t=．
    综上所述，存在t的值，分别为t=1.6或t=或时，△DFQ为等腰三角形．
    点评：该题综合性较强，它将二次函数和正方形、解直角三角形、相似三角形的判定、等腰三角形的构成情况等贯穿在一起，考查综合分析问题能力，要注意（2）（3）两小题都要分类讨论，不要漏解．
    练习册系列答案
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    		3
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    （2013•桥西区模拟）注意：为了使同学们更好地解答本题，下面提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
    如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
    分析：由横、竖彩条的宽度比为2：3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．
    结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：
    AB=
    （20-6x）
    （20-6x）
    cm；
    AD=
    （30-4x）
    （30-4x）
    cm；
    矩形ABCD的面积为
    （24x2-260x+600）
    （24x2-260x+600）
     cm2．
    列出方程并完成本题解答．

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    （2010•集美区模拟）如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠，点A的对应点为A′，若∠C=120°，∠A=25°，则∠A′DB的度数是
    110
    110
    度；若C点的坐标为（0，0），点B在x轴的负半轴上，A点的纵坐标为6，则A′点的坐标为
    （2
    		3
    ，0）
    （2
    		3
    ，0）
    ．

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    （2010•集美区模拟）已知：抛物线y=x2+（m-1）x+m-2与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜1＜x2．
    （1）求m的取值范围；
    （2）记抛物线与y轴的交点为C，P（x3，m）是线段BC上的点，过点P的直线与抛物线交于点Q（x4，y4），若四边形POCQ是平行四边形，求抛物线所对应的函数关系式．

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