Question

2．如图，直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴，y轴分别交于A，B两点，∠OAB的角平分线与OB的垂直平分线相交于P点．
（1）求P点的坐标；
（2）作∠ABO的平分线交AP于M，判断△PBM的形状．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B的坐标，得出OA、OB，由勾股定理求出AB，求出∠OAB=60°，得出∠ABO=30°，再由角平分线的性质得出OG、求出EG，由三角函数求出PE，即可得出点P的坐标；
（2）由线段垂直平分线的性质得出PB=PO，得出∠PBO=∠POE=30°，∠BPE=∠OPE=60°，∠BPM=90°，再由角平分线得出∠MBG=15°，求出∠PBM=45°，即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴，y轴分别交于A，B两点，
当y=0时，x=-1，当x=0时，y=$\sqrt{3}$，
∴A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OAB=60°，
∴∠ABO=30°，
∵AP是∠OAB的平分线，
∴∠OAP=30°，$\frac{OG}{BG}=\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OG=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{OB}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵PE垂直平分OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PE∥OA，
∴EG=OE-OG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，∠EPG=∠OAP=30°，
∴PE=$\sqrt{3}$EG=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（2）△PBM是等腰直角三角形；理由如下：连接OP，设AP交OB于G，如图所示：
由（1）得：OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PE=$\frac{1}{2}$，
∴∠POE=30°，
∴∠OPE=60°，
∵PE垂直平分OB，
∴PB=PO，
∴∠PBO=∠POE=30°，∠BPE=∠OPE=60°，
∴∠BPM=∠BPE+∠EPG=90°，
∵BM是∠ABO的平分线，
∴∠MBG=$\frac{1}{2}$∠ABO=15°，
∴∠PBM=30°+∠15°=45°，
∴∠PMB=45°，
∴PB=PM，
即△PBM是等腰直角三角形．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了图形与坐标特征、勾股定理、三角函数、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线运用角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及多次运用三角函数才能得出结果．