Question

8．如图，△ABC是边长为9cm的等边三角形，D、E是边BC、BA上的动点，D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，D、E同时出发．设运动时间为t，当其中一点到达边的端点时，运动便停止，在运动过程中始终保持∠EDF=60°．
（1）求证：∠EDB=∠DFC；
（2）当t=3秒时，判断△DEF的形状，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）由∠EDF=60°，得到∠CDF+∠EDB=120°，根据等边三角形的性质得到∠C=60°，于是得到∠CDF+∠DFC=120°，等量代换即可得到结论；
（2）根据D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，得到BE=6，BD=3，求得CD=BC-BD=9-3=6，通过△EBD∽△DFC，得到$\frac{BE}{BD}=\frac{CD}{CF}$，求出CF=3，于是得到CF=BD，CD=BE，证得△BDE≌△CDF，由全等三角形的性质得到DE=DF，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠EDF=60°，
∴∠CDF+∠EDB=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠CDF+∠DFC=120°，
∴∠EDB=∠DFC；

（2）△DEF是等边三角形，
∵D点由B点开始以1cm/秒的速度向C点运动，E点由B点开始以2cm/秒的速度向A点运动，
∴t=3秒，BE=6，BD=3，
∴CD=BC-BD=9-3=6，
∵△EBD∽△DFC，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{CD}{CF}$，即$\frac{6}{3}=\frac{6}{CF}$，
∴CF=3，
∴CF=BD，CD=BE，
在△BDE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠B=∠C=60°}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．