Question

20．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=BC，BD=CE，M是AC边上的中点．
（1）求证：△DEM是等腰直角三角形．
（2）已知AD=4，CE=3，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接BM，根据△ABC中，∠B=90°，AB=BC，BD=CE，M是AC边上的中点可知BM与CM、AM的关系，BM⊥AC，从而可以推出△DBM≌△ECM，从而可以推出△DEM是等腰直角三角形．
（2）根据∠B=90°，AB=BC，BD=CE，AD=4，CE=3，可知BD=3，BE=4，从而可以得到DE的长．

解答 （1）证明：连接BM，如下图所示，

∵△ABC中，∠B=90°，AB=BC，BD=CE，M是AC边上的中点．
∴BM=AM=MC，BM⊥AC，∠A=∠DBM=∠C=45°，∠BMC=90°，
在△DBM和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠DBM=∠ECM}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△ECM（SAS）．
∴DM=EM，∠BMD=∠CME．
∵∠BME+∠EMC=∠BMC=90°，
∴∠BMD+∠BME=90°．
∴△DME是等腰直角三角形．
（2）∵AB=BC，BD=CE，
∴AD=BE．
∵AD=4，CE=3，∠B=90°，
∴BD=3，BE=4．
∴DE=$\sqrt{B{D}^{2}+B{E}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$．
即DE的长为5．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是找出所求结论或者问题需要的条件．