Question

10．已知：关于x的一元二次方程x²+（2a+1）x+$\frac{5}{4}$a²+$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$=0有实根
（1）求a的值
（2）若关于x的方程kx²-3x-k-2a-1=0的所有根均为整数，求整数k的值．

Answer 1

分析 （1）利用判别式的意义得到△=（2a+1）²-4（$\frac{5}{4}$a²+$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$）≥0，整理得到（a-1）²≤0，则根据非负数的意义可确定a的值；所以a=1；
（2）方程化为kx²-3x-k-3=0，讨论：当k=0时，x=-1；当k≠0，利用求根公式解方程得到x₁=-1，x₂=$\frac{k+3}{k}$，然后利用有理数的整除性可确定k的值．

解答 解：（1）根据题意得△=（2a+1）²-4（$\frac{5}{4}$a²+$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$）≥0，
即（a-1）²≤0，
所以a=1；
（2）kx²-3x-k-3=0，
当k=0时，x=-1，
当k≠0，△=（-3）²-4k（-k-3）=（2k+3）²，
x=$\frac{3±（2k+3）}{2k}$，
所以x₁=-1，x₂=$\frac{k+3}{k}$，
因为k=$\frac{k+3}{k}$=1+$\frac{3}{k}$，
所以当x取整数±1，±3时，x₂为整数，
综上所述，满足条件的整数k的值为0，±1，±2．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．