Question

6．如图，在?ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是怎样的特殊四边形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出OB=OD，AE∥CF，得出∠E=∠F，由AAS即可证明△BOE≌△DOF；
（2）先由对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AE∥CF，
∴∠E=∠F，
在△BOE和△DOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}&{\;}\\{∠BOE=∠DOF}&{\;}\\{OB=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形；理由如下：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
又∵△BOE≌△DOF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．