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已知在同一直角坐标系中，直线l：y＝x－3k＋6与y轴交于点P，M是抛物线C：

y＝x²－2(k＋2)x＋8k的顶点．

(1)求证：当k≠2时，抛物线C与x轴必定交于两点；

(2)A、B是抛物线c与x轴的两交点，A、B在y轴两侧，且A在B的左边，判断：直线l能经过点B吗？(需写出判断的过程)

(3)在(2)的条件下，是否存在实数k，使△ABP和△ABM的面积相等？如果存在，请求出此时抛物线C的解析式；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　(1)证明：在抛物线C中，

　　Δ＝4(k＋2)²－32k

　　＝4k²－16k＋16

　　＝4(k－2)²．　1分

　　∵当k≠2时，4(k－2)²＞0，

　　∴方程x²－2(k＋2)x＋8k＝0有两个不相等的实数根．

　　∴当k≠2时，抛物线C与x轴必定交于两点．　2分

　　(2)解方程x²－2(k＋2)x＋8k＝0，

　　得x₁＝4，x₂＝2k．　3分

　　∵点A、B在y轴两侧，且A在B的左边，

　　∴k＜0，点B(4，0)．　4分

　　把点B(4，0)代入y＝x－3k＋6，

　　得k＝＞0，与“k＜0”不符．

　　∴直线l不可能经过点B．　5分

　　(3)y＝x²－2(k＋2)x＋8k

　　＝[x－(k＋2)]²－(k－2)²，

　　作MH⊥x轴于H，则MH＝(k－2)²．　6分

　　∵k＜0，∴－3k＋6＞0．

　　∴OP＝－3k＋6．

　　由S_△ABP＝S_△ABM，得－3k＋6＝(k－2)²　7分

　　解得k₁＝－1，k₂＝2(舍去)

　　∴存在实数k＝－1，使得S_△ABP＝S_△ABM．

　　此时，抛物线C的解析式是y＝x²－2x－8．　8分

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