Question

操作探究：

（1）现有一块等腰三角形纸板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm．若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图

（2）计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．

（3）另用纸片制作一个直角边为4的等腰Rt△OPQ,将（1）中的剪得的Rt△ABD纸片的直角顶点D和PQ的中点M重合（如图所示），以M为旋转中心，旋转Rt△ABD纸片，Rt△ABD纸片的两直角边与⊿POQ的两直角边分别交于点E、F. 连接EF，探究：在旋转三角形纸板的过程中，△EOF的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

探究画图；19.6；4+2

【解析】

试题分析：（1）

(2) 设AB＝AC＝xcm，则BC＝（x＋2）cm，由题意得解得x＝10cm．因此AB＝AC＝10cm，则BC＝12cm，过点A作AD⊥BC于D，∴BD＝CD＝6cm，∴AD＝8cm．

可以拼成四种四边形，如上图所示．

如图⑴，两对角线之和为10＋10＝20cm；

如图⑵，AD＝，∴两对角线和为；

如图⑶，BC＝，∴两对角线和为；

如图⑷，∵，∴CO＝4.8cm，CD＝9.6cm．∴两对角线之和为19.6cm．8分

(3)答：△EOF的周长存在最小值理由是:连接OM 

∵ Rt⊿POQ中，OP="OQ" =4,M是PQ的中点

∴OM=PM=PQ=2

∠POM=∠FOM=∠P=45°  ∵∠PME+∠EMO=∠OMF+∠EMO

∴∠PME=∠OMF   ⊿PME≌⊿OMF 

∴ ME=MF

∴ PE=OF   ∴OE+OF=OE+PE=OP=4

令OE=x  EF=y则y²=x²+(4－x)²=2x²－8x+16

=2(x－2)²+8≥8

当x=2时y²有最小值=8从而 y≥2

故△EOF的周长存在最小值，其最小值是4+2                        

考点：全等三角形的性质和判定

点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．