Question

操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

说明：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点
纸片利用率=

纸片被利用的面积

纸片的总面积

×100%
发现：
（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．
探究：
（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．
说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．

Answer 1

分析：（1）连接AC、BC、AB，由AC=BC=

5

，AB=

10

，根据勾股定理的逆定理，即可求得∠BAC=90°，又由90°的圆周角所对的弦是直径，则可证得AB为该圆的直径；
（2）首先证得△ADE≌△EHF与△ADE∽△ACB，即可求得AD与BC的长，求得△ABC的面积，即可求得该方案纸片利用率；
（3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案．

解答：解：发现：（1）小明的这个发现正确．
理由：
解法一：如图一：连接AC、BC、AB，
∵AC=BC=

10

，AB=2

5

∴AC²+BC²=AB²，
∴∠BCA=90°，
∴AB为该圆的直径．
解法二：如图二：连接AC、BC、AB．
易证△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，
即∠BCA=90°，
∴AB为该圆的直径．


（2）如图三：∵DE=FH，DE∥FH，
∴∠AED=∠EFH，
∵∠ADE=∠EHF=90°，
∴△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴

AD

AC

=

DE

CB

，
∴

1

4

=

2

CB

，
∴BC=8，
∴S_△ACB=16．
∴该方案纸片利用率=

展开图的面积

纸板的总面积

×100%=

6

16

×100%=37.5%；

探究：（3）过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，
设AP=a，
∵PQ∥EK，
易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，
∴AP：AQ=QK：EK=1：2，
∴AQ=2a，PQ=

5

a，
∴EQ=5a，
∵EC：ED=QE：QK，
∴EC=

5

2

a，
则PG=5a+

5

2

a=

15

2

a，GL=

5

2

5

a，
∴GH=

25

8

a，
∵

GH

2a+5a+ 5 2 a

=

GB

GB+ 15a 2 +a

，
解得：GB=

25

6

a，
∴AB=

38

3

a，AC=

19

2

a，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×AC=

361

6

a²，
S_{展开图面积}=6×5a²=30a²，
∴该方案纸片利用率=

展开图的面积

纸板的总面积

×100%=

180

361

×100%=49.86%．

点评：此题考查了圆周角的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用．