Question

17．对于整数n≥3，用φ（n）表示所有小于n的素数的乘积．求满足条件φ（n）=22n-32的所有正整数n．

Answer 1

分析 首先利用n＞11得出不符合要求，进而利用7＜n≤11，以及5＜6≤7、3＜n≤5，n=3分别分析得出符合题意的答案．

解答 解：若n＞11，则11整除φ（n），但11不能整除22n-32．
因此，n＞11不符合要求．故，n≤11．          
若7＜n≤11，则φ（n）=2×3×5×7=210，
由210=22n-32，
得n=11．
若5＜6≤7，则φ（n）=2×3×5=30，由30=22n-32，得正整数n不存在．
若3＜n≤5，则φ（n）=2×3=6，由6=22n-32，得正整数n不存在．
若n=3，则φ（n）=2，由2=22n-32，得正整数n不存在．
∴满足条件的正整数n只有1个，n=11．              

解法二：由φ（n）=22n-32，得φ（n）-1024=22（n-48）．
由于φ（n）是偶数，但不是4的倍数，因此，n-48是奇数．    
若n-48≥3，则n-48含有奇数的素数因子p，即p为奇素数，且p整除n-48．
由n-48＜n知，p整除φ（n）．由此p整除1024，矛盾．
故，n-48＜3，即n≤49，且n为奇数．                 
∵n≤49时，22n-32≤22×49-32=1046，
∴φ（n）≤1046．
又2×3×5×7=210，2×3×5×7×11=210×11＞1046．
∴n≤11．即n=3，5，7，9，11．                    
将n=3，5，7，9，11分别代入φ（n）=22n-32验证，
n=3时，φ（3）=2，22n-32=34，不符合要求．
n=5时，φ（5）=2×3=6，22n-32=78，不符合要求．
n=7时，φ（7）=2×3×5=30，22n-32=122，不符合要求．
n=9时，φ（9）=2×3×5×7=210，22n-32=166，不符合要求．
n=11时，φ（11）=2×3×5×7=210，22n-32=210，符合要求．
∴满足条件的正整数n只有1个，n=11．

点评 此题主要考查了数的整除性，正确分类讨论求出n的值是解题关键．