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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90AC=BC=1,EF为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点EF分别作BCAC的垂线相交于点M,垂足分别为HG.现有以下结论:①AB=当点E与点B重合时,MH=;③AF+BE=EF;④MGMH=,其中正确结论为( )

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

【答案】C

【解析】试题解析:①由题意知,ABC是等腰直角三角形,

AB=,故①正确;

②如图1,当点E与点B重合时,点H与点B重合,

MBBCMBC=90°

MGAC

∴∠MGC=90°=C=MBC

MGBC,四边形MGCB是矩形,

MH=MB=CG

∵∠FCE=45°=ABCA=ACF=45°

CF=AF=BF

FGACB的中位线,

GC=AC=MH,故②正确;

③如图2所示,

AC=BCACB=90°

∴∠A=5=45°

ACF顺时针旋转90°BCD

CF=CD1=4A=6=45°BD=AF

∵∠2=45°

∴∠1+3=3+4=45°

∴∠DCE=2

ECFECD中,

∴△ECF≌△ECDSAS),

EF=DE

∵∠5=45°

∴∠DBE=90°

DE2=BD2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故③错误;

④∵∠7=1+A=1+45°=1+2=ACE

∵∠A=5=45°

∴△ACE∽△BFC

AEBF=ACBC=1

由题意知四边形CHMG是矩形,

MGBCMH=CG

MG=CHMHAC

MG=AEMH=BF

MGMH=AE×BF=AEBF=ACBC=.

故④正确.

故选C

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