【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC=1,E、F为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M,垂足分别为H、G.现有以下结论:①AB=;②当点E与点B重合时,MH=;③AF+BE=EF;④MGMH=,其中正确结论为( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】试题解析:①由题意知,△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=,故①正确;
②如图1,当点E与点B重合时,点H与点B重合,
∴MB⊥BC,∠MBC=90°,
∵MG⊥AC,
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC,
∴MG∥BC,四边形MGCB是矩形,
∴MH=MB=CG,
∵∠FCE=45°=∠ABC,∠A=∠ACF=45°,
∴CF=AF=BF,
∴FG是△ACB的中位线,
∴GC=AC=MH,故②正确;
③如图2所示,
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠A=∠5=45°.
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD,
则CF=CD,∠1=∠4,∠A=∠6=45°;BD=AF;
∵∠2=45°,
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°,
∴∠DCE=∠2.
在△ECF和△ECD中,
,
∴△ECF≌△ECD(SAS),
∴EF=DE.
∵∠5=45°,
∴∠DBE=90°,
∴DE2=BD2+BE2,即EF2=AF2+BE2,故③错误;
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE,
∵∠A=∠5=45°,
∴△ACE∽△BFC,
∴,
∴AEBF=ACBC=1,
由题意知四边形CHMG是矩形,
∴MG∥BC,MH=CG,
MG=CH,MH∥AC,
∴; ,
即; ,
∴MG=AE;MH=BF,
∴MGMH=AE×BF=AEBF=ACBC=.
故④正确.
故选C.
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【题目】下列通过移项变形,错误的是( )
A. 由x+2=2x-7,得x-2x=-7-2 B. 由x+3=2-4x,得x+4x=2-3
C. 由2x-3+x=2x-4,得2x-x-2x=-4+3 D. 由1-2x=3,得2x=1-3
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【题目】下列说法错误的是( )
A. 太阳的光线所形成的投影是平行投影
B. 在一天的不同时刻,同一棵树所形成的影子的长度不可能一样
C. 在一天中,不论太阳怎样变化,两棵相邻的树的影子都是平行的或在一条直线上
D. 影子的长短不仅和太阳的位置有关,还与物体本身的长度有关
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【题目】某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品,其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件,甲、乙两种商品的进价和售价如下表:(注:获利=售价-进价)
(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润?
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品.其中甲种商品的件数不变,乙种商品的件数是第一次的3倍;甲商品按原价销售,乙商品打折销售.第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元,求第二次乙种商品是按原价打几折销售?
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【题目】如图,已知二次函数y1=-x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A、B的直线为y2=kx+b.
(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标;
(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x的取值范围;
(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】为使我市冬季“天更蓝、房更暖”、政府决定实施“煤改气”供暖改造工程,现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道,所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示,则下列说法中:
①甲队每天挖100米; ②乙队开挖两天后,每天挖50米;
③当x=4时,甲、乙两队所挖管道长度相同; ④甲队比乙队提前2天完成任务.正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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