Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．
（1）求证：△EAB∽△ECA；
（2）△ABE和△ADC是否一定相似？如果相似，加以说明；如果不相似，那么增加一个怎样的条件，△ABE和△ADC一定相似．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴BD=CD，AD=CD，
∴∠C=∠DAC，
又∵AE⊥AD，
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠EAB=∠C，
∴△EAB∽△ECA；

（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，
∴当∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=时，△ABE和△ADC一定相似．
分析：（1）由题意，△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，可得，BD=CD，AD=CD，所以，∠C=∠DAC，又由AE⊥AD，所以，∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，所以，∠EAB=∠C，即可证得；
（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，所以，当∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=时，△ABE和△ADC一定相似．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，是正确解答本题的基础．