Question

19．已知二次函数y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的图象经过点A（-3，-6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；     
（2）设点D为线段OC上一点，且∠DPC=∠BAC，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线中，即可求出二次函数的解析式．
（2）过P作PM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，先求得P、C两点坐标，然后通过证△BAC和△PCD来求出CD的长，即可得出D点的坐标．

解答 解：（1）已知抛物线过A（-3，-6），B（-1，0）则有：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{2}-3b+c=-6}\\{-\frac{1}{2}-b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴二次函数的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$；
（2）易知：P（1，2），C（3，0），
过P作PM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，
则PM=2，
∵抛物线过C（3，0）和B（-1，0），
∴BC=4，CM=2=PM，
∴∠PCO=45°，
∵AN=CN=6，
∴∠ACB=45°，
∵∠DPC=∠BAC，∠PCO=∠ACB=45°，
∴△DPC∽△BAC，
∴$\frac{DC}{BC}$=$\frac{PC}{AC}$，∵AC=6 $\sqrt{2}$，PC=2 $\sqrt{2}$，BC=4
∴CD=$\frac{4}{3}$，OD=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴D（ $\frac{5}{3}$，0）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．