Question

7．如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB，交点为E，过点B的切线与AD的延长线交于点F，已知cosC=$\frac{4}{5}$，BF=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 连接BD，由于∠A、∠C所对的弧相同，因此cosA=cosC，在Rt△ABF中，cos∠A=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{4}{5}$，设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x．因为BF=6，解出x=2，从而得到直径AB的长，也就能求出⊙O的半径．

解答 解：连接BD．
∵∠BCD与∠BAF同对$\widehat{BD}$，
∴∠C=∠A，
∴cos∠A=cos∠C=$\frac{4}{5}$，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠ABF=90°
在Rt△ABF中，cos∠A=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{4}{5}$，
设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x．
∵BF=6，∴x=2，
∴直径AB=4x=4×2=8，
则⊙O的半径为4．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，解直角三角形，辅助线的作法是解题的关键．