Question

17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB=4，CF=1，∠ABC=60°，求sin∠DEO的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，可得AD∥BC，OA=OC，OB=OD，即可证得∠AEO=∠CFO，继而证得△AOE≌△COF，则可得OE=OF，即可判定四边形BFDE是平行四边形；
（2）首先由在菱形ABCD中，∠ABC=60°，证得△ABC，△ADC为等边三角形，然后过点M作OM⊥AD于M，然后利用三角函数与勾股定理，求得OM与OE的长，则可求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形；

（2）∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，AB=BC=AD=CD=4，∠ADO=∠CDO=30°，
∴△ABC，△ADC为等边三角形，
∴AO=$\frac{1}{2}$AD=2，∠OAD=60°，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
过点M作OM⊥AD于M，
∴OM=OA•sin60°=$\sqrt{3}$，
∴AM=OA•cos60°=1，
∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF=1，
∴EM=AE+AM=2，
∴OE=$\sqrt{E{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
在Rt△EOM中，sin∠DEO=$\frac{OM}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 此题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．