在△OAB中.O为坐标原点.横.纵轴的单位长度相同.A.B的坐标分别为.点P沿OA边从点O开始向终点A运动.速度每秒1个单位.点Q沿BO边从B点开始向终点O运动.速度每秒2个单位.如果P.Q同时出发.用t(秒)表示移动时间.当这两点中有一点到达自己的终点时.另一点也停止运动．求:(1)几秒时PQ∥AB,(2)设△OPQ的面积为y.求y与t的函数关系式,(3)t为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在△OAB中，O为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A、B的坐标分别为（8，6），（16，0），点P沿OA边从点O开始向终点A运动，速度每秒1个单位，点Q沿BO边从B点开始向终点O运动，速度每秒2个单位，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．求：
（1）几秒时PQ∥AB；
（2）设△OPQ的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）t为何值时，y有最大值？

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由两点间的距离公式求得AO=10，然后根据平行线PQ∥AB分线段成比例知

，据此列出关于t的方程，并解方程；
（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．构造平行线PC∥AQ，根据平行线分线段成比例及三角形的面积公式求得关于y与t的函数关系式；
（3）利用（2）中二次函数解析式来求函数的最值．

解答：

解：（1）由已知得OA=

82+62

=10，
当PQ∥AB时，

，
则：

16-2t

，
解得 t=

；

（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．
∵

，

，
∴PC=

t，y=

OQ•PC=

（16-2t）•

t=-

t²+

t；
∴y=-

t²+

t（0＜t≤8）；

（3）由（2）知，y与x的函数关系式为：y=-

t²+

t（0＜t≤8）．
则y=-

（t-4）²+

192

（0＜t≤8）．
故当t=4时，y_最大=

192

．

点评：本题综合考查了二次函数的最值、平行线分线段成比例及勾股定理的应用．解答此题的关键是通过作辅助线PC⊥OB，AD⊥OB构造平行线PC∥AQ，然后利用平行线分线段成比例来求出相关线段的长度．

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