Question

已知：|2y-a|=axy-x2- 

1

4

a2y2
（1）求证：不论a为何值时，总有y²=x；
（2）当a为何值时，|x|=|y|成立？

Answer 1

分析：（1）利用完全平方公式和绝对值的非负性求解即可；
（2）由（1）可知x=

1

4

a²，y=

1

2

a，若|x|=|y|则可建立关于a的方程解方程即可．

解答：解：（1）∵|2y-a|=axy-x2- 

1

4

a2y2，
∴|2y-a|+（x-

1

2

ay）²=0，
∴

x= 1 4 a 2 y= 1 2 a

，
将a消去，即有y²=x；

（2）若|x|=|y|成立，则有

.

1 4 a2

.

=

.

1 2 a

.

，
∴

.

a 2

.

=

.

2a

.

，
当a≥0时，即a²-2a=0，即a=0或a=2；
当a＜0时，即a²+2a=0，a=0或a=-2；
∴当a=0或a=2或a=-2时，均有|x|=|y|

点评：（1）本题考查了绝对值的非负性，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0，根据上述的性质可列出方程求出未知数的值；
（2）本题考查了绝对值的性质以及利用因式分解求出方程的解，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．