Question

（1）如图1所示，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．
（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

Answer 1

AE=CF．
理由如下：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，

AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF；

（2）∵△ABD是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴BC=2AB=2×2=4，
根据勾股定理，AC=

BC2-AB2

=

42-22

=2

3

cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+4+2

3

=（6+2

3

）cm．