Question

如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B?A，B?C运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=

 

厘米；
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）容易知道△ANB∽△APM，利用相似三角形的对应边成比例就可以求出PM；
（2）若PNB∽△PAD，则

NB

AD

=

PN

PA

，而

PN

PA

=

BM

AM

，∴

NB

AD

=

BM

AM

这样就可以求出t，也可以求出相似比；
（3）首先利用△AMP∽△ABN把QM，PM用t表示，然后就可以用t表示梯形PMBN与梯形PQDA的面积，根据已知可以得到关于t的方程，最后就可以根据t与a的关系式就可以讨论t的取值范围了；
（4）根据（3）已经得到t的取值范围，再根据梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等得到关于t的方程，求出t，再求出a，这样就可以判断a的值是否存在．

解答：解：（1）当t=1时，MB=1，NB=1，AM=4-1=3，
∵PM∥BN
∴△ANB∽△APM，
∴

PM

NB

=

AM

AB

，
∴PM=

3

4

．

（2）当t=2时，使△PNB∽△PAD，
∴

NB

AD

=

PN

PA

，
∵

PN

PA

=

BM

AM

，
∴

NB

AD

=

BM

AM

这样就可以求出t，
相似比为2：3．

（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，△AMP∽△ABN，
∴

PM

BN

=

AM

AB

即

PM

t

=

a-t

a

，∵PM=

t(a-t)

a

，
∵PQ=3-

t(a-t)

a

，
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
即

(QP+AD)DQ

2

=

(MP+BN)BM

2

=

(3- t(a-t) a +3)(a-t)

2

=

( t a (a-t)+t)t

2

，
化简得t=

6a

6+a

，
∵t≤3，
∴

6a

6+a

≤3，则a≤6，
∴3＜a≤6．

（4）∵3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM，
∴

t

a

（a-t）=3-t，
两边同时乘以a，得at-t²=3a-at，
整理，得t²-2at+3a=0，
把t=

6a

6+a

代入，整理得9a³-108a=0，
∵a≠0，∴9a²-108=0，
∴a=±2

3

，
所以a=2

3

．
所以，存在a，
当a=2

3

时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．

点评：此题综合性比较强，考查了相似三角形的性质与判定，梯形的面积公式，列方程解方程等知识．