Question

15．如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若DE=13，BD=12，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，∠B=∠BAC=45°，求出∠ACE=∠BCD，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据全等求出AE=BD，∠EAC=∠B=45°，求出∠EAD=90°，AE=12，在Rt△EAD中，由勾股定理求出AD即可．

解答 （1）证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，∠B=∠BAC=45°，
∴∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD，
在△ACE和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD；

（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠EAC=∠B=45°，
∵BD=12，
∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12，
在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5，
∴AB=BD+AD=12+5=17．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能求出△ACE≌△BCD和求出AD的长，难度适中．