如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2
)、D(0，3
)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO＝60°．
(1)①点B的坐标是________；②∠CAO＝________度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为________；(直接写出答案)
(2)设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
(3)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
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分析：(1)①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标； (2)分别从MN＝AN，AM＝AN与AM＝MN去分析求解即可求得答案； (3)分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案． 解答：解：(1)①∵四边形OABC是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， ∵A(6，0)、C(0，2 ∴点B的坐标为：(6，2 ②∵tan∠CAO＝ ∴∠CAO＝30°； ③如下图：当当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E， ∵∠PQO＝60°，D(0，3 ∴PE＝3 ∴AE＝ ∴OE＝OA－AE＝6－3＝3， ∴点P的坐标为(3，3 故答案为：①(6，2 (2)情况①：MN＝AN＝3， 则∠AMN＝∠MAN＝30°， ∴∠MNO＝60°， ∵∠PQO＝60°， 即∠MQO＝60°， ∴点N与Q重合， ∴点P与D重合， ∴此时m＝0，
情况②，如图AM＝AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴； MJ＝MQ·sin60°＝AQ·sin60°＝(OA－IQ－OI)·sin60°＝ 可得 解得：m＝3－
情况③AM＝NM，此时M的横坐标是4.5， 过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G， ∴MG＝ ∴QK＝ ∴KG＝3－0.5＝2.5，AG＝ ∴OK＝2， ∴m＝2，
(3)当0≤x≤3时， 如图，OI＝x，IQ＝PI·tan60°＝3，OQ＝OI＋IQ＝3＋x； 由题意可知直线l∥BC∥OA， 可得 EF＝ 此时重叠部分是梯形，其面积为： S梯形＝
当3＜x≤5时，S＝S梯形－S△HAQ＝S梯形－
当5＜x≤9时，S＝
当9＜x时，S＝
点评：此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． |
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考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；梯形；解直角三角形． |
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如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，5）．查看答案和解析>>
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如图，矩形OABC中，OA=2，OC=1，把矩形OABC放在数轴上，O在原点，OA在正半轴上，把矩形的对角线OB绕着原点O顺时针旋转到数轴上，点B的对应点为B′，则点B′表示的实数是（ ）查看答案和解析>>
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)，
)；
＝
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，
)，
，
＝3，
(3－m)＝
AM＝
AN＝
，
(3－m)＝
，
，
＝
＝3，GQ＝
＝
，
，
(3＋x)，
(3＋x)，
(3＋x)－
(12－
x)，
．
17、如图，矩形OABC中，O是原点，OA=8，AB=6，则对角线AC和BO的交点H的坐标为