Question

在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B______、C______；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（-1，0），
∴OA=1，
由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，
所以，OC=OA•tan60°=1×=，
OB=OC•cot30°=×=3，
所以，点B（3，0），C（0，），
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=-x²+x+；

（2）①∵△OCE∽△OBC，
∴=，
即=，
解得OE=1，
所以，AE=OA+OE=1+1=2，
即x=2时，△OCE∽△OBC；

②存在．理由如下：
抛物线的对称轴为x=-=-=1，
所以，点E为抛物线的对称轴与x轴的交点，
∵OA=OE，OC⊥x轴，∠BAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠AEC=60°，
又∠DEF=60°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BAC=∠FEB，
∴EF∥AC，
由A（-1，0），C（0，）可得直线AC的解析式为y=x+，
∵点E（1，0），
∴直线EF的解析式为y=x-，
联立，
解得，（舍去），
∴点M的坐标为（2，），
EM==2，
分三种情况讨论△PEM是等腰三角形，
当PE=EM时，PE=2，
所以，点P的坐标为（1，2）或（1，-2），
当PE=PM时，∵∠FEB=60°，
∴∠PEF=90°-60°=30°，
PE=EM÷cos30°=×2÷=，
所以，点P的坐标为（1，），
当PM=EM时，PE=2EM•cos30°=2×2×=2，
所以，点P的坐标为（1，2），
综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，-2）或（1，）或（1，2），使△PEM是等腰三角形．
分析：（1）利用解直角三角形求出OC的长度，再求出OB的长度，从而可得点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）①根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，再根据点A的坐标求出AO的长度，相加即可得到AE的长度，即x的值；
②根据①确定点E在对称轴上，然后求出∠FEB=60°，根据同位角相等两直线平行求出EF∥AC，再求出直线EF的解析式，与抛物线解析式联立求出点M的坐标，再利用两点间的距离公式求出EM的长度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三种情况分别求解．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要涉及直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形对应边成比例的性质，等腰三角形的性质，（2）②要根据等腰三角形腰的不同进行分情况讨论，根据题目图形，点M在x轴下方的情况可以舍去不予考虑．