Question

10．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD延长线于E，交AB延长线于F点．若AB=4ED，则cos∠ABC的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 先证△CDE∽△ABC得到对应边成比例，由AB=4DE，BC=CD得到BC=$\frac{1}{2}$AB，从而求出cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$．

解答 证明：连接OC、AC，
∵CE⊥AD，
∴∠EAC+∠ECA=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
又∵BC=CD，
∴∠OAC=∠EAC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴∠ECA+∠OCA=90°，
∴EF是⊙O的切线，
∴∠ECD=∠EAC，
又∵BC=CD，
∴∠EAC=∠BAC，
∴∠ECD=∠BAC，
又∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
在△BAC和△DCE中，
∠BCA=∠DEC=90°，
∠ECD=∠CAB，
∴△CDE∽△ABC，
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{AB}{BC}$，
又∵AB=4DE，CD=BC，
∴$\frac{BC}{\frac{1}{4}AB}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 考查了切线的判定，圆内接四边形及解直角三角形，这道题主要利用切线的判定定理来证明EF是⊙O的切线，并且利用相似三角形的性质来求线段的长度．