Question

1．如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P．过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B．作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO．
（1）求证：DA=DC；
（2）求∠P及∠AEB的大小．

Answer 1

分析 （1）欲证明DA=DC，只要证明Rt△DAO≌△Rt△DCO即可；
（2）想办法证明∠P=30°即可解决问题；

解答 （1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵CB⊥AE，
∴AD⊥AE，
∴∠DAO=90°，
∵DP与⊙O相切于点C，
∴DC⊥OC，
∴∠DCO=90°，
在Rt△DAO和Rt△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=DO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAO≌△Rt△DCO，
∴DA=DC．

（2）∵CB⊥AE，AE是直径，
∴CF=FB=$\frac{1}{2}$BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴CF=$\frac{1}{2}$AD，
∵CF∥DA，
∴△PCF∽△PDA，
∴$\frac{PC}{PD}$=$\frac{CF}{DA}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=$\frac{1}{2}$PD，DC=$\frac{1}{2}$PD，
∵DA=DC，
∴DA=$\frac{1}{2}$PD，
在Rt△DAP中，∠P=30°，
∵DP∥AB，
∴∠FAB=∠P=30°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠AEB=60°．

点评 本题考查切线的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．