Question

16．已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG；
（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG，
①求证：∠ODG=∠OCE；
②当AB=1时，求HC的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明OE=OG，只要证明△DOG≌△COE（ASA）即可；
（2）①欲证明∠ODG=∠OCE，只要证明△ODG≌△OCE即可；
②设CH=x，由△CHE∽△DCH，可得$\frac{EH}{HC}$=$\frac{HC}{CD}$，即HC²=EH•CD，由此构建方程即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD=OC，
∴∠DOG=∠COE=90°，
∴∠OEC+∠OCE=90°，
∵DF⊥CE，
∴∠OEC+∠ODG=90°，
∴∠ODG=∠OCE，
∴△DOG≌△COE（ASA），
∴OE=OG．

（2）①证明：如图2中，∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°OD=OC，
∴△ODG≌△OCE，
∴∠ODG=∠OCE．
②解：设CH=x，
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴BH=1-x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，
∵EH⊥BC，
∴∠BEH=∠EBH=45°，
∴EH=BH=1-x，
∵∠ODG=∠OCE，
∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE，
∴∠HDC=∠ECH，
∵EH⊥BC，
∴∠EHC=∠HCD=90°，
∴△CHE∽△DCH，
∴$\frac{EH}{HC}$=$\frac{HC}{CD}$，
∴HC²=EH•CD，
∴x²=（1-x）•1，
解得x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（舍弃），
∴HC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．