Question

一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=

12

13

，DE是水位线，DE∥AB．
（1）当水位线DE=4

30

m时，求此时的水深；
（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．

Answer 1

考点：垂径定理的应用,勾股定理

专题：

分析：（1）延长CO交DE于点F，连接OD，根据垂径定理求出BC的长，由sin∠COB=

BC

OB

得出OB的长，根据DE∥AB可知∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．由OF过圆心可得出DF的长，再根据勾股定理求出OF的长，进而可得出CF的长；
（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF-OC=3m，连接CD，在Rt△ODF中由勾股定理求出DF的长，由cot∠ACD=cot∠CDF即可得出结论．

解答：解：（1）延长CO交DE于点F，连接OD
∵OC⊥AB，OC过圆心，AB=24m，
∴BC=

1

2

AB=12m．
在Rt△BCO中，sin∠COB=

BC

OB

=

12

13

，
∴OB=13mCO=5m．
∵DE∥AB，
∴∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．
又∵OF过圆心，
∴DF=

1

2

DE=

1

2

×4

30

=2

30

m．
在Rt△DFO中，OF=

OD2-DF2

=

169-120

=7m，
∴CF=CO+OF=12m，即当水位线DE=4

30

m时，此时的水深为12m；

（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF-OC=3m，
连接CD，在Rt△ODF中，DF=

OD2-OF2

=

132-32

=4

10

m．
在Rt△CDF中，cot∠CDF=

DF

CF

=

10

2

．
∵DE∥AB，
∴∠ACD=∠CDE，
∴cot∠ACD=cot∠CDF=

10

2

．
答：若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，此时∠ACD的余切值为

10

2

．

点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．