Question

四边形ABCD的四边长为AB=

34

，BC=

(7-m)2+1

，CD=

m2+(6-n)2

，DA=

n2+16

，一条对角线BD=

72+(5-n)2

，其中m，n为常数，且0＜m＜7，0＜n＜5，那么四边形的面积为

 

．

Answer 1

分析：作矩形A′B′C′D′，并且A′B′=7，B′C′=6；点A在A′B′上，AA′=4，点B在B′C′上，BB′=5，D在A′D′上，A′D=n，C在D′C上，D′C=m，作DE⊥B′C′于E点，则AB=

32+52

=

34

，BC=

(7-m)2+1

，CD=

m2+(6-n)2

，DA=

n2+16

，
BD=

72+(5-n)2

，根据四边形ABCD的面积=S_{矩形A′B′C′D′}-S_△A′AD-S_△ABB′-S_△C′CB-S_△D′DC，利用矩形和三角形的面积公式即可计算出所求四边形的面积．

解答：解：作矩形A′B′C′D′，并且A′B′=7，B′C′=6；点A在A′B′上，AA′=4，点B在B′C′上，BB′=5，D在A′D′上，A′D=n，C在D′C上，D′C=m，如图，过D作DE⊥B′C′于E点，
∴AB=

32+52

=

34

，BC=

(7-m)2+1

，CD=

m2+(6-n)2

，DA=

n2+16

，BD=

72+(5-n)2

，
∴四边形ABCD的面积=S_{矩形A′B′C′D′}-S_△A′AD-S_△ABB′-S_△C′CB-S_△
D′DC=7×6-

1

2

×4×n-

1

2

×3×5-

1

2

×1×（7-m）-

1

2

×m×（6-n）
=

1

2

（mn-5m-4n+62）．
故答案为

1

2

（mn-5m-4n+62）．

点评：本题考查了根据已知条件合理构造规则的几何图形，然后利用规则的几何图形的面积和差去求不规则的几何图形的面积的方法．也考查了勾股定理以及矩形和三角形的面积公式．