Question

3．观察下列算式，你发现了什么规律？
1²=$\frac{1×2×3}{6}$；1²+2²=$\frac{2×3×5}{6}$；1²+2²+3²=$\frac{3×4×7}{6}$；1²+2²+3²+4²=$\frac{4×5×9}{6}$；…
①根据你发现的规律，计算下面算式的值；1²+2²+3²+4²+5²=$\frac{5×6×11}{6}$；
②请用一个含n的算式表示这个规律：1²+2²+3²…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$；
③根据你发现的规律，计算下面算式的值：51²+52²+…+99²+100²=295425．

Answer 1

分析 （1）1²+2²+3²+4²+5²=$\frac{5×6×11}{6}$
（2）1²+2²+3²…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$
（3）先算出：1²+2²+3²…+50²与1²+2²+3²…+51²+52²+…+99²+100²的值，再求它们的差即可

解答 解：（1）1²+2²+3²+4²+5²=$\frac{5×6×11}{6}$
（2）1²+2²+3²…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$
（3∵1²+2²+3²…+50²=$\frac{50×51×101}{6}$=42925
1²+2²+3²…+51²+52²+…+99²+100²=$\frac{100×101×201}{6}$=338350
∴51²+52²+…+99²+100²=（1²+2²+3²…+51²+52²+…+99²+100²）-（1²+2²+3²…+50²）
=338350-42925
=295425
故答案为：①=$\frac{5×6×11}{6}$；②=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$；③295425

点评 本题考查了数字的变化规律问题，解题的关键是认真阅读题目中数字变化的规律，难点是51²+52²+…+99²+100²=（1²+2²+3²…+51²+52²+…+99²+100²）-（1²+2²+3²…+50²）的变形．