Question

16．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入抛物线的解析式可求得点C的坐标，将y=0可求得点A、B的坐标；
（2）分为CM=BM，BC=BM，CM=BC三种情况进行计算即可．

解答 解：（1）将x=0代入得；y=3，
所以点C的坐标为（0，3）．
将y=0代入得：-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+3=0．
解得：x₁=2，x₂=-3．
∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（2，0）
（2）①当BM=MC时，过点M作MD⊥BC，垂足为D．

∵∠COB=90°，
∴BC=$\sqrt{C{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
∵MC=MB，MD⊥BC，
∴DB=CD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∵$\frac{BM}{DB}=\frac{OB}{BC}$，
∴$\frac{MB}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴MB=$\frac{13}{4}$．
∴MO=$\frac{5}{4}$．
∴点M的坐标为（-$\frac{5}{4}$，0）．
②如图2所示：当BM=BC时．

∵BC=$\sqrt{13}$，
∴MB=$\sqrt{13}$．
∴0M=MB-OB=$\sqrt{13}$-2．
∴点M的坐标为（-$\sqrt{13}$+2，0）．
如图3所示：当MC=CB时．

∵MC=CB，OC⊥BM，
∴MO=OB．
∴点M的坐标为（-2，0）．
综上所述，点M的坐标为（-$\frac{5}{4}$，0）、（-$\sqrt{13}$+2，0）、（-2，0）时，△MBC为等腰三角形．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．