Question

如图，∠BAC=90°，AC=AB，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点．直线AE与l相交于点D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；
（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于F．当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）．无论点E如何变化，总有BD=BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．

Answer 1

解：如图
（1）∵BD是切线，DA是割线BD=6，AD=10
∴DB²=DE•DA
∴DE==3.6；

（2）设M是上半圆的中点，当E在BM弧上时，F在直径AB上
当E在AM弧上时，F在BA的延长线上，当E在下半圆时，F在AB的延长线上
连接BE
∵AB是直径，AC、BD是切线，∠CEF=90°
∴∠AEB=90°，∠CAE=∠FBE，∠DBE=∠BAE
∵∠CEA=90°-∠AEF
∠FEB=90°-∠AEF
∴∠CEA=∠FEB
∴Rt△DBE∽Rt△BAE，△CAE∽△FBE
∴，
∵AC=AB
∴BD=BF．
分析：（1）由于DB是圆的切线，因此根据切割线定理得出的DB²=DE•DA即可求出DE的长；
（2）①设M是上半圆的中点，连接BC，AM，由于AB=AC，且∠CAB=90°，BC必过M点，连接AM则AM⊥BC，因此当E在BM弧上时，F在直径AB上．当E在AM弧上时，F在BA的延长线上．当E在下半圆时，F在AB的延长线上．
②本题可通过相似三角形来求解，由于∠CEA和∠FEB同是∠AEF的余角，因此这两角相等，根据弦切角定理可知：∠CAE=∠B，由此可得出，△CAE∽△FBE，同理可得出Rt△DBE∽Rt△BAE，那么，已知AC=AB，因此BD=BF．
点评：本题主要考查了切线的性质、切割线定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点．