Question

如图，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．点P在x轴上，且OP=2OA，在此平面上，存在点M，使得四边形ABMP恰好为平行四边形
（1）求点P的坐标；
（2）求所有满足条件的M点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据一次函数解析式求得点A的坐标．对点P的位置需要分类讨论：点P在点A的左边和点P在点A的右边；
（2）根据“平行四边形的对边平行且相等”的性质知，点M的纵坐标与点B的相同，都是4，且BM=AP．所以由（1）中的点P的不同坐标，来求满足条件的相应的点M的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=2x+4与x轴交于点A，
∴令y=0，则
2x+4=0，
解得，x=-2，即A点坐标（-2，0）．
设P点坐标为 （x，0）．
∵OP=2OA解得：x=±4．
∴P点坐标分别为P（4，0），或P′（-4，0）．

（2）假设存在点M，四边形ABMP恰好为平行四边形．
∵BM∥x轴，∴点M与点B纵坐标相等，即y_M=4．
当P（4，0）时，BM=AP=6，
∴M（6，4）．
当P′（-4，0）时，BM′=AP′=2，
∴M′（-2，4）．
综上所述，当点M的坐标为（6，4）、（-2，4）时，四边形ABMP恰好为平行四边形．

点评：本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质以及坐标与图形的性质．解题时，采用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得形象化，降低了题的难度．