Question

4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，AM=1，连接MN，BN，则BN的长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质求出BM，根据三角形中位线定理求出MN，证明∠BMN=90°，根据勾股定理计算即可．

解答 解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∵∠ABC=90°，
M为AC的中点，
∴BM=AM=1，
∴∠CMB=2∠BAC=60°，
∵AC=AD，
∴AD=2，
∵M，N分别为AC，CD的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD=1，∠CMN=∠DAC=30°，
∴∠BMN=90°，
∴BN=$\sqrt{B{M}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．