Question

在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y=

2k

x

(k≠0)满足：当x＜0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y=-x+

3

k都经过点P，且|OP|=

7

，则实数k=

无解

．

Answer 1

分析：设出P的坐标为（a，b），由P为两函数的交点，将P坐标代入反比例与直线解析式中，得到ab与a+b，再利用勾股定理表示出|OP|，代入|OP|=

7

中，利用完全平方公式变形，把表示出的ab与a+b代入，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：设P坐标为（a，b），代入反比例解析式得：ab=2k；代入直线解析式得：a+b=

3

k，
∵|OP|=

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，即a²+b²=7，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=3k²-4k=7，△=16+84=100＞0，
分解因式得：（3k-7）（k+1）=0，
可得3k-7=0或k+1=0，
解得：k=

7

3

或k=-1（不合题意，舍去）．
联立方程所得到的一元二次方程有解需满足△≥0，从而得到k≥

8

3

或k＜0（舍），
所以求出的k=

7

3

不合题意，
则实数k无解．
故答案为：无解．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：勾股定理，完全平方公式的运用，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．