Question

已知平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=x²+上，过A作AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D，将矩形ABOD沿对角线BD折叠后得A的对应点为A′，重叠部分（阴影）为△BDC．
（1）求证：△BDC是等腰三角形；
（2）如果A点的坐标是（1，m），求△BDC的面积；
（3）在（2）的条件下，求直线BC的解析式，并判断点A′是否落在已知的抛物线上？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：由折叠的性质之：∠ABD=∠DBC，
∵四边形ABOD是矩形
∴AB∥DO
∴∠ABD=∠CDB
∴∠CBD=∠BDC
∴△BDC是等腰三角形．

（2）解：∵点A（1，m）在y=x²+上，
∴m=+=．
在直角三角形ABD中，AB=，DA=1，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBO=30°，CO=OB•tan∠CBO=，
S_△BCD=S_△BDO-S_△BCO=OD•OB-OB•OC=-=．

（3）解：设直线BC解析式为：y=ax+b，
∵C（0，），B（1，0）；
∴，
解得，
y=-+，
设A′的坐标为（x，y），过A′作A′M⊥x轴于M，
A′M=BA′=AB=，
∴y=，
代入y=-+，
得x=-，
点A′的坐标是（-，），
将x=-代入y=x²+中
得：y=，
∴A′落在此抛物线上．
分析：（1）可通过证角相等来求解．由折叠的性质可得出∠ABD=∠ABD，根据AB∥OD，可得出∠ABD=∠ODB，因此∠ODB=∠CBD，CD=BC，△BDC是等腰三角形．
（2）求△BCD的面积，可用△BOD和△BOC的面积差来求，已知A的坐标为（1，m），那么可得出OB=AD=1，由于A在抛物线上，可根据抛物线的解析式求出m的值，即可得出AB、OD的长．进而可求出∠ABD的度数，也就能求出∠OBC的度数．在直角三角形OBC中，根据OB和∠OBC的度数即可求出OC的长，然后根据三角形的面积公式即可求出△BCD的面积．
（3）在（2）中已得出了B、C的坐标，可用待定系数法求出直线BC的解析式．
判定A′是否在抛物线上，首先要知道A′的坐标，可过A′作x轴的垂线，用求OC的方法求出A′的纵坐标，然后代入直线BC中即可得出A′的坐标，将A′的坐标代入抛物线的解析式中即可判断出A′是否在抛物线上．
点评：本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、图形折叠变换、等腰三角形的判定以及二次函数的应用等知识点，综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．