Question

如图，一菱形ABCD的边长为2，且∠ABC=120°，点E是BC的中点，点P为BD上一点，且△PCE的周长最小．
（1）求∠ADE的度数；
（2）在BD上画出点P的位置，并写出作法；
（3）求△PCE周长的最小值．

Answer 1

考点：菱形的性质,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）由菱形ABCD中，∠ABC=120°，易得△BCD是等边三角形，继而求得∠ADE的度数；
（2）连接AE，交BD于点P；
（3）首先由勾股定理求得AE的长，即可得△PCE周长的最小值=AE+EC．

解答：解：（1）∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴BC=CD=AD=2，∠C=180°-∠ABC=60°，∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠ADB=∠BDC=

1

2

∠ADC=60°，△BCD是等边三角形，
∵点E是BC的中点，
∴∠BDE=

1

2

∠BDC=30°，
∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=90°；

（2）如图，连接AE，交BD于点P；

（3）∵DE=CD•sin60°=

3

，CE=

1

2

BC=1，
∴在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

7

，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴△PCE周长为：PC+PE+CE=PA+PE+CE=AE+CE=

7

+1．

点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理以及最短路径问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．