Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC，垂足为点D．点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P从点B开始沿BC边向点C运动，速度为1cm/s，点Q从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）当x为何值时，将△PCQ沿直线PQ翻折180°，使C点落到C'点，得到的四边形CQC'P是菱形？
（2）设△PQD的面积为y（cm²），当0＜x＜6.5时，求y与x的函数关系式．
（3）当0＜x＜5时，是否存在x，使得△PDM与△MDQ（M为PQ与AD的交点）的面积比为3：5，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）PC=10-x，CQ=2x要使四边形CQC'P是菱形，
则PC=CQ即10-x=2x．解得x=．∴当x=时，
四边形CQC'P是菱形；

（2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E，

∵AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC，
∴由勾股定理可得AD=12cm．
①当0＜x＜5时，∵QE∥AD∴△QEC∽△ADC，
∴即，又PD=5-x，
∴y=．即y=，
②当5＜x＜6.5时，y=.；

（3）当0＜x＜5时，PQ与AD交于M，存在符合条件的x．
理由如下：过点Q作QF⊥AD，垂足为F，
∵FQ∥PD，
∴S_△PDM：S_△DQM=PM：QM=PD：QF=3：5，
在Rt△QEC中，EC=CQ•cos∠ACD=，QF=DE=DC-EC=，PD=5-x，
∴，
解得x=，
∴当x=时，△PDM与△MDQ的面积比为3：5
分析：（1）先表示PC、CQ，只有当PC=CQ时，四边形CQC'P是菱形，列方程求x即可；
（2）过点Q作QE⊥BC，根据①0＜x＜5，②5＜x＜6.5，分类列出函数关系式；
（3）存在．过点Q作QF⊥AD，垂足为F，根据等高的两个三角形的面积比得S_△PDM：S_△DQM=PM：QM，由FQ∥PD，得PM：QM=PD：QF，把相关线段用x表示，列方程求x即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，翻折问题，勾股定理的运用．关键是根据图形特点作辅助线，构造三角形相似．