Question

17．如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD翻折得到△AED，AE交半圆O于点F，连接DF、OD．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠ODA，由图形翻折变换的性质可得到∠CDA=∠EDA，再根据CD⊥AB即可得出结论；
（2）连接OF，可知OC=BC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OD，由平行线的判定定理可得出OD∥AF，进而可得出△FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA=OD即可得出结论．

解答 证明：（1）如图，连接OD，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵△AED由△ACD对折得到，
∴∠CDA=∠EDA，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D点在半圆O上，
∴DE是半圆的切线；

（2）四边形ODFA是菱形，
如图，连接OF，
∵CD⊥OB，
∴△OCD是直角三角形，
∴OC=BC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OD，
在Rt△OCD中，
∵∠ODC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，
∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°，
∴OD∥AF，∠FAO=60°，
又∵OF=OA，
∴△FAO是等边三角形，
∴OA=AF，
∴OD=AF，
∴四边形ODFA是平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形ODFA是菱形．

点评 本题考查的是切线的判定、菱形的判定定理、圆周角定理及图形翻折变换的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．