Question

6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD=BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB及CB延长线交于点F、M．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若点G为MF的中点，求证：BG是⊙O的切线；
（3）若AD=4，CM=9，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由直径所对的圆周角等于90°可知∠ADC=∠ABC=90°，然后利用HL可证明Rt△ADC≌Rt△CBA，依据全等三角形的性质得到∠CAD=∠ACB，然后令平行线的判定定理可得到AD∥BC，依据有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知ABCD是平行四边形，然后由∠ABC=90°，可证明四边形ABCD是矩形．
（2）连接OB．依据直角三角形斜边上中线的性质可得到GF=GB，则∠GBF=∠GFB=∠AFE，由OA=OB，可证明∠OBA=∠OAB，由∠AFE+∠OAB=90°，可得到∠GBF+∠OBA=90°；
（3）先证明△ACD∽△DMC，由相似三角形对应边成比例可求得DC=6，最后利用矩形的面积=长×宽求解即可．

解答 解：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ABC=90°．
在Rt△ADC和Rt△CBA中，AC=CA，AD=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA，
∴∠CAD=∠ACB，
∴AD∥BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形．
（2）证明：连接OB．

在Rt△MBF中，G是MF的中点，
∴BG=$\frac{1}{2}$MF=FG，
∴∠GBF=∠GFB=∠AFE．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB．
∵DG⊥AC，
∴∠AFE+∠OAB=90°，
∴∠GBF+∠OBA=90°，即OB⊥BG，
∴BG是⊙O的切线．
（3）由（1）得四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠DCM=90°．
又∵AC⊥DG，
∴∠CDM+∠ACD=90°，∠CDM+∠M=90°
∴∠ACD=∠M．
又∵∠ADC=∠DCM，
∴△ACD∽△DMC，
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{DC}{CM}$，
∴DC²=AD•CM=36，
∴DC=6，
∴S_矩形ABCD=AD•CD=24．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了相似三角形的性质、切线的性质和判定、矩形的性质、全等三角形的性质和判定，能够灵活应用相关知识是解题的关键．