Question

10．如图，AB是⊙O的一条弦，M，N是⊙O上两个动点，且在弦AB的异侧，若∠AMB=45°，若四边形MANB面积的最大值是4$\sqrt{2}$，则⊙O的半径为2．

Answer 1

分析 过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=$\sqrt{2}$OA，由于S_{四边形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S_{四边形DAEB}=$\frac{1}{2}$AB×DE，求出OA即可．

解答 解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA，
∵S_{四边形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S_{四边形DAEB}=$\frac{1}{2}$AB×DE=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$OA×2OA=4$\sqrt{2}$，
解得：OA=2，即⊙O的半径为2；
故答案为：2．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、四边形面积的计算；熟练掌握垂径定理和圆周角定理，得出四边形MANB面积取最大值时M点运动到D点，N点运动到E点是解决问题的关键．