Question

5．如图，矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=3，将△ADC绕点A顺时针旋转α角（0°≤α≤90°）得到△AD′C′，且AC′与BC交于E．
（1）当α=15°时，求证：AB=BE；
（2）求旋转过程中边DC扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）由于AB=$\sqrt{3}$，AD=3，可得∠CAB=60°，结论显然；
（2）画出图形，旋转过程中边DC扫过的面积就是两个扇形面积之差，这两个扇形面积都是四分之一圆的面积，且半径分别为AC、AD．

解答 解：（1）

∵矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CAB=60°，
∵∠CAC'=15°，
∴∠EAB=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE；
（2）如图2，

设旋转过程中边DC扫过的面积为S，
∵AB=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴${S}_{扇形ADD'}=\frac{1}{4}π•A{D}^{2}$=$\frac{9}{4}π$，
${S}_{扇形ACC'}=\frac{1}{4}π•A{C}^{2}$=3π，
∴S=S_扇形ADD'-S_扇形ACC'=$\frac{3}{4}π$．

点评 本题考查了旋转的性质、矩形的性质、特殊角的三角函数、等腰直角三角形的判定性质、扇形面积计算等知识点，难度适中．注意旋转变换的“不变”特征，即旋转前后对应的线段和角度是不变的．