Question

在- 次数学活动课上，老师出了- 道题：
  (1) 解方程x²-2x-3=0.
     巡视后老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法( 分解因式法) 。
   接着, 老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：
  (2) 解关于x 的方程mx²+(m -3)x -3=0(m 为常数，且m ≠0).
     老师继续巡视，及时观察、点拨大家. 再接着, 老师将第二道题变式为第三道题：
(3) 已知关于x 的函数y=mx²+(m-3)x-3(m 为常数).
  ①求证：不论m 为何值, 此函数的图象恒过x 轴、y 轴上的两个定点( 设x 轴上的定点为A ，y 轴上的定点为C) ；    
   ②若m ≠0 时, 设此函数的图象与x 轴的另一个交点为反B, 当△ABC 为锐角三角形时, 求m 的取值范围；当△ABC 为钝角三角形时，观察图象，直接写出m 的取值范围.
    请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.    

Answer 1

解：（1）由x²－2x－3＝0，得（x+1）(x－3)=0
∴x₁=1,x₂=3             
（2）方法一：由mx²+(m－3)x－3=0得（x+1）·(mx－3)=0
∵m≠0, ∴x₁=－1,x₂=                        
方法2：由公式法：
∴x₁=－1,x₂=
（3）①I: 当m=0时，函数y= mx²+(m－3)x－3为y=－3x－3，令y=0,得x=－1
令x=0,则y=－3.
∴直线y=－3x－3过定点A（－1,0）,C（0，－3）
II: 当m≠0时，函数y= mx²+(m－3)x－3为y=（x+1）·(mx－3)
∴抛物线y=（x+1）·(mx－3)恒过两定点A（－1，0）,C（0，－3）和B（，0）
②当m>0时，由①可知抛物线开口向上，
且过点A（－1，0）,C（0，－3）和B（，0），                                                
观察图象，可知，当⊿ABC为Rt⊿时，
则⊿AOC∽⊿COB
∴
∴
∴32=1×