Question

（本小题满分10分）已知：如图，⊙与轴交于C、D两点，圆心的坐标
为（1，0），⊙的半径为，过点C作⊙的切线交轴于点B（－4，0）
 
小题1:（1）求切线BC的解析式；
小题2:（2）若点P是第一象限内⊙上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，
且∠CGP＝120°，求点的坐标；
小题3:（3）向左移动⊙（圆心始终保持在轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接AC，由勾股定理可求出OC的长，进而得出C点坐标，同理，由切线的性质及勾股定理即可得出OB的长，进而求出B点坐标，再用待定系数法即可求出过BC两点的直线解析式；
（2）过G点作x轴垂线，垂足为H，连接AG，设G（x₀，y₀），在Rt△ACG中利用锐角三角函数的定义可求出CG的长，
由勾股定理可得出BC的长，由OC∥GH可得出
= ，进而可求出G点坐标；
（3）假设△AEF为直角三角形，由AE=AF可判断出△AEF为等腰三角形，可得出∠EAF=90°，过A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的长度，证出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性质可得出A点坐标；当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性质可得出A′点的坐标．
小题1:（1）连接，∵是⊙A的切线，∴．
∴．
∵，∴，∴．
∴△∽△，∴．
即，∴．∴点坐标是（0，2）．
设直线的解析式为，∵该直线经过点B（－4，0）与点（0，2），
∴    解得   
∴该直线解析式为．

小题2:（2）连接，过点作．
由切线长定理知
．
在中，∵，
∴．
在中，由勾股定理得 
．
∴．
又∵．
∴∽，∴，
∴．
则是点的纵坐标，
∴，解得．
∴点的坐标．……………4分
小题3:(3)如图示，当在点的右侧时
∵、在⊙上，∴．
若△是直角三角形，则，且为等腰直角三角形．
过点作，在中由三角函数可知
．
又∵∽，
∴ ，
∴．
∴，
∴点 坐标是．
当在点的左侧时：同理可求点 坐标是．……………6分