Question

24、已知关于x的方程x²-2mx+3m=0的两个实数根为x₁、x₂，且（x₁-x₂）²=16．如果关于x的另一方程x²-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x₁和x₂之间，求m的值．

Answer 1

分析：先利用第一个方程中的条件，利用根于系数的关系求得m的值，再把m代入第二个方程求得另一个方程的解，并根据条件求出符合题意的m值．

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-2mx+3m=0①的两个实数根，
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=3m．
∵（x₁-x₂）²=16，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16．
∴4m²-12m=16．
解得m₁=-1，m₂=4，

（1）当m=-1时，
方程x²-2mx+3m=0化为：x²+2x-3=0．
解得：x₁=-3，x₂=1．
方程x²-2mx+6m-9=0化为：x²+2x-15=0．
解得：x'₁=-5，x'₂=3．
∵-5、3不在-3和1之间，
∴m=-1不合题意，舍去．

（2）当m=4时，
方程x²-2mx+3m=0化为：x²-8x+12=0，
解得：x₁=2，x₂=6．
方程x²-2mx+6m-9=0化为：x²-8x+15=0，
解得：x'₁=3，x'₂=5．
∵2＜3＜5＜6，即x₁＜x'₁＜x'₂＜x₂，
∴方程x²-2mx+6m-9=0的的两根都在方程x²-2mx+3m=0的两根之间．
∴m=4，
综合（1）（2），m=4．

点评：本题考查了根与系数的关系，本题中有重要的两个步骤要注意，一是利用第一个方程的条件先求出m的值，二是要把解出的m值代入第二个方程求得x的值并利用题中条件检验，符合题意的m值才是方程中的m值