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    17．如图，抛物线L：y=ax2（a＞0）与直线y=kx相交于点A（点A在第一象限），抛物线L沿直线y=kx平移得到抛物线L1，当抛物线L1过点A时，交直线y=kx于点B．过点B作BC∥x轴交抛物线L于C、E两点（点C在第二象限）．交抛物线L1于另一点D．
    （1）如图1，若a=1，k=1，①求OB的长；②求证：点D在y轴上；
    （2）如图2，若k=$\frac{1}{2}$时，不论a取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是否唯一确定？若是，请求出比值；若不是，请说明理由．
    （3）不论a，k取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是否唯一确定？若是，请求出比值；若不是，请说明理由．

    分析 （1）先将a=1，k=1代入抛物线L的解析式和直线AB解析式中，进而确定出点A的坐标，再利用平移确定出抛物线L1的解析式，抛物线L1和直线AB解析式联立确定出点B的坐标，再利用BC∥x轴，把点B的纵坐标代入抛物线L1中，确定出点D的坐标；
    （2）先将k=$\frac{1}{2}$确定出直线AB的解析式，和抛物线L的解析式联立确定出点A的坐标，再利用平移确定出抛物线L1的解析式，抛物线L1和直线AB解析式联立确定出点B的坐标，再利用BC∥x轴，把点B的纵坐标代入抛物线L，L1中，确定出点C、E和D的坐标；
    （3）直接联立抛物线L的解析式和直线AB的解析式确定出点A的坐标，其余同（2）的方法．

    解答 解：（1）当a=1，k=1时，抛物线L的解析式为：y=x2①与直线AB的解析式为y=x②，
    联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=x}\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（是原点）或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
    ∴A（1，1），
    ∵抛物线L沿直线y=x平移得到抛物线L1，当抛物线L1过点A（1，1），
    ∴抛物线L1解析式为y=（x-1）2+1③，
    联立②③得，$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（x-1）^{2}+1}\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$（点A的坐标）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
    ∴B（2，2），
    ①∴OB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
    ②把y=2代入抛物线L1解析式y=（x-1）2+1中，得，（x-1）2+1=2，
    ∴x=0或x=2（点B的横坐标），
    ∴D（0，2），
    ∴点D在y轴上；

    （2）当k=$\frac{1}{2}$时，不论a取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一确定，此值为（$\sqrt{2}$-1）．
    理由：当k=$\frac{1}{2}$时，直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x④，
    ∵抛物线L的解析式为：y=ax2（a＞0）⑤，
    联立④⑤得，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（原点）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2a}}\\{y=\frac{1}{4a}}\end{array}\right.$，
    ∴A（$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{4a}$），
    ∴抛物线L1解析式y=a（x-$\frac{1}{2a}$）2+$\frac{1}{4a}$⑥，
    联立④⑥得，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2a}}\\{y=\frac{1}{4a}}\end{array}\right.$（点A的坐标）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{a}}\\{y=\frac{1}{2a}}\end{array}\right.$
    ∴B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2a}$），
    ∵BC∥x轴，
    ∴把y=$\frac{1}{2a}$代入抛物线L1解析式y=a（x-$\frac{1}{2a}$）2+$\frac{1}{4a}$中，得x=0或x=$\frac{1}{a}$（点B的横坐标），
    ∴D（0，$\frac{1}{2a}$），
    把y=$\frac{1}{2a}$代入抛物线L解析式y=ax2中，得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，
    ∴C（-$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），E（$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），
    ∴BE=$\frac{1}{a}$-$\frac{\sqrt{2}}{2a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2a}$，DC=0-（-$\frac{\sqrt{2}}{2a}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，
    ∴$\frac{BE}{DC}=\frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2a}}{\frac{\sqrt{2}}{2a}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．
    ∴当k=$\frac{1}{2}$时，不论a取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一确定，此值为（$\sqrt{2}$-1）．

    （3）不论a，k取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一确定，此值为（$\sqrt{2}$-1）．
    理由：∵抛物线L：y=ax2⑦（a＞0）与直线y=kx⑧相交于点A（点A在第一象限），
    ∴联立⑦⑧得，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=a{x}^{2}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（原点坐标）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k}{a}}\\{y=\frac{{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，
    ∴A（$\frac{k}{a}$，$\frac{{k}^{2}}{a}$），
    ∵抛物线L沿直线y=kx平移得到抛物线L1，当抛物线L1过点A，
    ∴抛物线L1的解析式为y=a（x-$\frac{k}{a}$）2+$\frac{{k}^{2}}{a}$=ax2-2kx+$\frac{2{k}^{2}}{a}$⑨，
    联立⑧⑨得，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=a{x}^{2}-2kx+\frac{2{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k}{a}}\\{y=\frac{{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$（点A的坐标）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2k}{a}}\\{y=\frac{2{k}^{2}}{a}}\end{array}\right.$，
    ∴B（$\frac{2k}{a}$，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），
    ∴BC∥x轴，把y=$\frac{2{k}^{2}}{a}$代入抛物线L1解析式y=ax2-2kx+$\frac{2{k}^{2}}{a}$中，得x=0或x=$\frac{2k}{a}$（点B的横坐标），
    ∴D（0，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），
    把y=$\frac{2{k}^{2}}{a}$代入抛物线L解析式y=ax2中，得x=±$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，
    ∴C（-$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），E（$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，$\frac{2{k}^{2}}{a}$），
    ∴BE=$\frac{2k}{a}$-$\frac{\sqrt{2}k}{a}$=$\frac{（2-\sqrt{2}）k}{a}$，DC=0-（-$\frac{\sqrt{2}k}{a}$）=$\frac{\sqrt{2}k}{a}$，
    ∴$\frac{BE}{DC}=\frac{\frac{（2-\sqrt{2}）k}{a}}{\frac{\sqrt{2}k}{a}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．
    ∴不论a，k取何值，$\frac{BE}{DC}$的比值是唯一确定，此值为（$\sqrt{2}$-1）．

    点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，直线和抛物线的交点坐标的确定等知识点，会解含字母系数的方程组是解本题的关键．

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