Question

解方程
（1）用配方法解方程：x²-4x+1=0
（2）用换元法解方程：（x²+x）²+（x²+x）=6．

Answer 1

考点：换元法解一元二次方程,解一元二次方程-配方法

专题：计算题

分析：（1）利用配方法解方程：先移项x²-4x=-1，再把方程两边加上4得x²-4x+4=3，利用完全平方公式得到（x-2）²=3，然后运用直接开平方法求解；
（2）运用换元法解方程：先设y=x²+x，则原方程变形为y²+y-6=0，运用因式分解法解得y₁=-3，y₂=2，再把y=-3和2分别代入y=x²+x得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．

解答：解：（1）x²-4x=-1，
x²-4x+4=3，
（x-2）²=3，
x-2=±

3

，
所以x₁=2+

3

，x₂=2-

3

；

（2）设y=x²+x，
原方程变形为y²+y-6=0，
（y+3）（y-2）=0，
解得y₁=-3，y₂=2，
当y=-3时，x²+x=-3，x²+x+3=0，△=1-4×3＜0，此方程无实数解；
当y=2时，x²+x=2，x²+x-2=0，解得x₁=-2，x₂=1，
所以原方程的解为x₁=-2，x₂=1．

点评：本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．也考查了配方法解一元二次方程．